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数学史:从辉格史到思想史
   时间:2022年07月27日
       张东林:数学史:从辉格史到思想史 摘要:以代数解释为代表的辉格史学曾一度主导了数学史研究, 导致了数学史的盲目和贫困。 1970年代以来, 许多数学史家试图开辟不同于辉格史的研究途径, 但至今未能理清数学史中的辉格倾向。为了揭示这一困难的根源, 我们回顾一下克莱因对数学史本身起源的追溯, 从中可以看出, 数学史上辉格倾向的根源恰恰在于现代数学本身。因此, 要摆脱辉格主义倾向, 数学史首先必须成为一种能够揭示其根源的研究, 即思想史。许多思想资源, 包括柯瓦雷的《科学思想史》, 帮助数学史实现了这一转变。关键词:数学史, 史学,

辉格党史, 思想史 “认识自己”, 这是柏拉图赋予数学教育的重要任务之一, 数学是研究伦理学和政治学的必要前奏, 可以只有当数学上升到思想的世界时, 才能充分认识自己,

成为在城邦政治生活中发挥积极作用的公民。中世纪的大学也继承了数学作为人文教育的传统。然而, 现代数学教育已经放弃了“认识自己”这一任务, 应该由数学史来接手。这是数学史家不可回避的使命。 1. 早期数学史中的辉格史学 当代数学史研究出现在 19 世纪末 20 世纪初, 在此之后的很长一段时间里, 出现了明显的辉煌网格史学在数学史学科中占有主导地位。数学史家习惯于从当前的数学概念分析古代数学文本, 认为这些文本的全部价值在于它们包含可以融入现代数学逻辑结构的数学思想。原文的表达方式被认为是“笨拙”和“繁琐”, 掩盖了其中“真实”的数学内容, 因此数学史家的任务是从原文中挽救这些内容, 留下原文表达方式, 用更适合表达数学概念的现代数学语言重新表述它们, 使它们更清晰、更容易理解。在这种史学观念下, 古代数学家的贡献无非是阐述了以前不为人知的“有意义”的数学概念和命题, 或者发明了“更好的”表示, 从而成为一种现代数学理论或方法的先驱。整个数学史被描述为数学知识的累积发展, 即数学概念和命题的不断积累, 表达形式的逐渐优化, 呈现出一个向当前数学体系不断进步的过程。任何不符合这一发展方向的数学工作都被认为是倒退、停滞或误入歧途, 数学史家有义务对这种反常现象进行解释, 指出哪些可能的因素阻碍了古代数学家的所作所为。应该已经完成​​。发现还是发明, 数学的史诗英雄们靠什么新武器冲破这些壁垒, 带领数学走向胜利。
       根据这样的历史图景, 当代数学处于进步阶梯的顶端。
       而语言的理解最为深刻和高深, 所以精通当代数学的数学家自然是书写数学史的最佳人选。显然,

这个史学纲领所产生的数学史只能是一部胜利者为胜利者书写的历史, 一部典型的辉格党史。这个史学计划的一个典型结果是在希腊数学史研究中采用了所谓的“代数解释”, 即把欧几里得《几何原本》和许多其他希腊几何命题解释为隐蔽的代数定理声称这些内容与今天的符号代数“本质上”没有​​区别, 只是表达方式不同, 用几何语言表达, 可以称为“几何代数”(geometric algebra)。这种解释可以追溯到 19 世纪末希腊数学史领域的先驱法国科学史学家保罗·坦纳里和丹麦数学家希罗尼穆斯·泽伊滕的工作, 后来被托马斯·希思和纽格鲍尔。由 Otto Neugebauer 等有影响力的历史学家继承, 它成为一种标准的解释, 在很长一段时间内都没有受到挑战, 直到 1960 年代和 1970 年代仍然是主流 [Unguru 1975, pp. 69–74; Saito 1986, 第 25-26 页; Grattan-Guinness 1996, p。 356]。按照这个解释, 希腊数学之所以披上几何的外衣,

是因为希腊人有一个不完整的数系, 只包括正整数和正有理数。当毕达哥拉斯学派发现某些线段的比率不能表示为整数的比率时, 希腊数学就遭遇了缺乏逻辑基础的危机。为了保证逻辑的严谨性, 希腊数学家不得不在几何的基础上重新建立代数, 并以几何定理的形式制定代数问题的解。在这门几何代数中, 几何量表示现代正实数, 量的组合和除法表示加减法, 以两条线段为边的矩形或平行四边形表示线段的乘积, 粘贴在给定的线段上给定大小的矩形或平行四边形表示除法, 正方形表示其边的平方, 立方体表示立方体, 因此许多几何定理可以转化为代数命题, 用现代符号“更清楚”地表达。例如, 欧几里得元素第二卷中关于矩形和正方形的所有 14 条定理都被转化为代数恒等式或方程, 如 (a b)a (a b)b = (a b)2, 转化为考虑反映欧几里德的“真实”思想, 因为从几何的角度来看, 这些定理太明显了, 几乎没有几何意义, 只能作为代数命题来理解。第5、7册的比例理论也被翻译成代数语言, 两个数或量的比被翻译成a/b, 四个数或量的比例被翻译成方程a/b=c / d, 比率的复利理解为分数乘法运算。第 10 卷中对不可通约量的讨论被视为对无理数理论的一种繁琐且不完整的替代方案。此外, 许多图形命题被认为是用几何方法求解代数方程。按照这种解释, 几何直觉已经成为希腊数学发展的障碍。因为几何不能超越三个维度, 几何代数不能有效处理超过三倍的代数方程。它可以处理极少数情况。这一障碍的突破取决于数系的扩展。只有将无理数包含在数集中, 几何量才能用数来表示, 使量的代数又变成数的代数。直到 1960 年代和 1970 年代, 代数解释才开始受到全面系统的批判, 但实际上足以否定代数解释的思想资源已经存在。哲学家和知识史学家雅各布·克莱因(Jacob Klein)在 1934-36 年出版的“希腊数学思想和代数的起源”中揭示了代数的一个基本特征, 它与数学有关。概念的演变密切相关。克莱恩所说的数字概念的演变, 并不是数字系统的扩展, 而是数字“意图”的变化。他问的是希腊人和现代人在说话和使用数字时采用的有意风格。这种独特的提问方式使他能够揭示代数的独特意义。克莱因看到希腊人的数量(arithmos) 总是意味着“被计数的东西”, 由一定数量的确定事物组成的东西。
       在这样的概念下, 数字不仅包括无理数, 还包括分数, 甚至“一”也不是数字。希腊人一直认为“一”是数字的起源, 是构成数字的单位, 是用来计数的尺度, 永远不能单独将其视为数字。 “一”作为一个单位, 体现了对从日常生活世界中诞生的事物的原始把握, 即每一个事物都可以称为“一”, 而不同的事物总是可以归为同一类,

这样才能算数。他们同一个单位。与此相适应的是像自然历史这样的分类研究, 为每个事物找到正确的类型是希腊人理解整个宇宙的基本方式。现代数字已经完全失去了原本直接指向确定事物的“初衷”, 而只指向与事物分离的概念, 成为一个空洞的符号。包括运算规则指定的对象(如负数、无理数、虚数等)。只有在这种象征性的思维方式下, 代数才能普遍适用于可能的数字和数量。符号数的诞生和代数的诞生其实是一回事。它们都源于弗朗索瓦·维埃对亚历山大丢番图著作的重新诠释, 最终由西蒙·史蒂文、勒内·笛卡尔s) 和 Wallis (JohnWallis et al.) 来完成。从克莱因的论述中可以看出, 代数的符号语言不仅仅是一种“表达工具”, 而是现代人符号思维方式的实现。希腊人的思维方式是建立在对“事物”的原始理解之上, 而每一个事物总是被直接把握为直接的“这个”, 而不是把它的个体定位在一个被预先理解为整个。性别。这一特征清楚地反映在希腊数学的特定术语中, 其中数学定理的陈述总是使用“the one”和“everyone”, 而从不使用“the one”或“anyone”[Heath 1998, Page 179]。希腊几何学的是图形而不是几何空间, 图形的topos是指它的放置方式, 而不是它在某个背景空间中的位置, 希腊人根本没有把空间作为背景的概念, “欧几里得空间”不是欧几里得的创造[Wu Guosheng 2010, p. 46]。在这种思维方式下, 数学家不能有数字或数量的符号概念, 不仅数字指的是确定的事物, 数量也是如此, 希腊几何中的数量总是指具有一定形状和界限的图形, 而不是长度、面积等, 数量相等总是指两个特定图形的相等, 即通过特定的绘图将一个图形转换为另一个图形的能力。在希腊数学中并不是真正的“运算”概念, 那些被代数解释视为加法、减法和除法的步骤从未被希腊数学家赋予特殊的名称。说。例如, Euclid 任意使用非常普通的词, 例如 suntithemi(放在一起)和 sugkeimai(放在一起)来表示所谓的“加法”, 但从未定义它 [Fowler 1987, p. 142]。任何两个量以不同的方式放在一起, 并且根据证明的上下文, 它们显示为不同的几何图形。这种程度的意义不能通过正式的加法规则来反映 [Grattan-Guinness1996, p.360]。没有量乘的概念, 两条线段围成一个有一定位置的矩形。在“原始”中, 只有数字的乘法才有定义, 但这个定义并没有偏离“放置”的含义。两个数相乘的结果称为“曲面”(第 VII 卷定义 16), 它也没有乘法规则。反映。 “原始”中的比率也不能等同于分数。比率是两个相似量之间的关系, 而不是操作。欧几里得从来没有说过两个比率“相等”, 而只是说“相同”和“相似”。在“原始”中, 比例和比例从不与确定的数字分开, 在没有特定数字的情况下, 这两个比例不会合并。 , 第 58 页]。代数解释对所有这些特征视而不见, 为了能够证明自己的合理性, 代数解释不得不经常忽略古代数学家工作的某些方面, 当它们不能被认为是平庸、低效或缺乏时清晰而普遍, 这样它就可以保持自己的一致性。代数解释给希腊几何强加了一种现代符号化的思维方式, 掩盖了希腊几何学家原有的纯几何思维方式, 以及这种思维方式与事物的原始经验之间的联系, 因此无助于我们理解希腊数字和量不能从根本上揭示现代符号数学的深刻含义。不仅在希腊数学史的研究中如此, 在其他时代的调查中也是如此。由于现代数学的一些概念被神圣化为永恒的、普遍的, 这些概念就陷入了一种无法反映的境地, 这注定了辉格数学。贫穷的历史。
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